부록 — 리스크 예산에서 실제 실행까지

결론. 리스크 예산 배분과 자금 배분은 다른 단계다. 최적화가 내놓는 슬리브별 트래킹 에러는 금액이 아니라 포지션 크기를 정하는 스케일 계수이고, 실행은 대부분 파생상품 오버레이로 한다. 벤치마크 복제 현물 포트폴리오는 그대로 두고 그 위에 액티브 포지션을 얹으며, 실제로 나가는 현금은 증거금과 담보뿐이다 — 통상 운용자산의 1~4% 수준이다.

변환 공식은 하나다.

\text{포지션 크기} \;=\; \frac{TE_i}{\sigma(\text{리스크 요인})}

트래킹 에러 80bp를 금리 변동성 연 1.0%로 나누면 액티브 듀레이션 0.8년이 되고, 이를 DV01로 환산하면 국채선물 계약 수가 나온다. 이 부록은 그 세 번의 환산을 수치로 따라간다.

1. TE 합산 원칙과 본문 배분표의 정정

슬리브별 트래킹 에러는 산술합이 아니라 제곱합으로 더해진다.

\sigma_A \;=\; \sqrt{\textstyle\sum_i TE_i^2} \quad (\text{독립 가정}), \qquad \sigma_A \;=\; \sqrt{TE^\top C\, TE} \quad (\text{일반})

1.1 본문 덱의 배분표를 정정한다

설명자료 27장의 배분 결과표는 155 + 105 + 0 + 55 = 400bp로 적었다. 이것은 산술합이며 제곱합 기준으로는 400bp가 아니다.

\sqrt{155^2 + 105^2 + 55^2} \;=\; \sqrt{38{,}075} \;=\; 195\text{bp}

즉 그 표는 총 액티브 리스크 400bp가 아니라 195bp를 쓴 배분이다. 승인된 400bp를 제대로 채우려면 최적해를 다시 풀어야 한다.

1.2 무제약 최적해 재계산

유효 IR 벡터를 a_i = IR_i^{\text{ante}} \times View_i 로 둔다.

TE^\star \;=\; \sigma_A \frac{a}{\lVert a \rVert}, \qquad \lVert a \rVert \;=\; \sqrt{0.186^2 + 0.076^2 + 0.040^2} \;=\; 0.2049

\sqrt{363^2 + 148^2 + 78^2} \;=\; 400\text{bp}

이것이 승인된 리스크 예산을 정확히 소진하는 배분이다. 다만 슬리브 상한이 걸리면 이 해는 쓸 수 없다 (§4).

2. 실행 3단계

2.1 슬리브마다 단위 리스크 구조를 정의한다

각 슬리브에는 그 뷰를 표현하는 포지션 모양이 미리 정해져 있다. 이를 트래킹 에러 1단위로 정규화한 벡터로 둔다.

\sqrt{u_i^\top \Sigma\, u_i} \;=\; 1

예를 들어 듀레이션 슬리브의 구조는 “한국 10년 +50%, 미국 10년 +30%, 독일 10년 +20%” 같은 상대 비중이다. 방향과 비중은 리서치가 정하고, 크기는 아직 정해지지 않았다.

2.2 최적화가 준 TE로 크기를 정한다

w_i^A \;=\; TE_i \cdot \mathrm{sign}(View_i) \cdot u_i, \qquad w^A \;=\; \sum_i w_i^A

이 단계가 리스크 예산을 포지션으로 바꾸는 변환이다. 구조는 그대로 두고 크기만 스케일한다.

2.3 제약에 투영한다

벤치마크와 액티브 포지션의 합이 롱온리·종목 상한·회전율·유동성 제약을 위반하면 가장 가까운 실행 가능 포트폴리오로 투영한다. 여기서 잃는 부분이 정확히 TC다.

TC_i \;=\; \mathrm{corr}\!\left(w_i^{A,\text{target}},\; w_i^{A,\text{actual}}\right)

사전에 가정한 TC와 실측 TC를 대조하는 것이 사후 루프의 핵심 항목이다.

3. 간단 예제 — 1,000억원, 100bp, 두 전략

펀드 1,000억원, 승인된 액티브 리스크 100bp. 최적화 결과는 다음과 같다.

\sqrt{80^2 + 60^2} \;=\; 100\text{bp}

3.1 TE를 포지션 크기로

3.2 포지션 크기를 계기로

금리 — 듀레이션 0.8년을 금리 1bp당 손익 민감도(DV01)로 환산한다.

1{,}000\text{억} \times 0.8 \times 0.0001 \;=\; 800\text{만원/bp}

국채선물 10년물 1계약의 DV01이 8만원이므로 100계약 매수.

달러 — 펀드의 6%인 60억원 선물환 매수.

3.3 실제로 나가는 현금

나머지 996억원은 벤치마크 포트폴리오 그대로 둔다. 리스크 예산은 자금을 옮기는 것이 아니라 선물로 얹는 것이다.

TE 80bp → 변동성으로 나누면 듀레이션 0.8년 → DV01로 환산하면 선물 100계약 → 현금은 증거금 3억만 나간다.

4. 실무 규모 예제 — 1조원, 400bp, 상한이 걸릴 때

운용자산 1조원, 승인된 총 액티브 리스크 400bp, 슬리브 상한은 총 리스크의 40%인 160bp. §1.2의 무제약 최적해는 듀레이션 363bp였으므로 상한에 걸린다.

\sqrt{160^2 + 148^2 + 78^2} \;=\; \sqrt{53{,}588} \;=\; 231\text{bp}

승인된 400bp 중 169bp가 쓰이지 않는다. 이것은 오류가 아니라 규율의 결과다.

4.1 미사용 리스크 예산을 어떻게 볼 것인가

뷰가 있는 슬리브가 셋뿐이고 각각 상한이 160bp라면 이론적 최대치도 400bp에 미치지 못한다.

\sqrt{3 \times 160^2} \;=\; 277\text{bp} \;<\; 400\text{bp}

권장은 첫째다. 승인된 리스크를 다 쓰는 것이 목표가 아니라 확신이 있는 곳에만 쓰는 것이 목표다. 미사용 169bp는 위원회에 보고할 항목이며 숨길 수치가 아니다.

5. 계기별 환산 — 160 / 148 / 78bp를 무엇으로 바꾸나

5.1 1차 환산 — 요인 노출

5.2 듀레이션 — DV01과 계약 수

1\text{조원} \times 2.00 \times 0.0001 \;=\; 2.0\text{억원/bp}

슬리브 구조가 한국 50 / 미국 30 / 독일 20이라면:

5.3 FX와 크레딧

FX — 노셔널 18.5%는 곧 금액이다.

1\text{조원} \times 0.185 \;=\; 1{,}850\text{억원 선물환 매수}

크레딧 — 스프레드 듀레이션을 계기의 스프레드 듀레이션으로 나눈다. CDX IG 5년의 스프레드 듀레이션이 4.6년이라면:

1\text{조원} \times \frac{1.95}{4.6} \;=\; 4{,}239\text{억원 노셔널 (프로텍션 매도)}

노셔널이 운용자산의 42%로 커 보이지만 실제 리스크는 78bp다. 노셔널 규모가 아니라 리스크 기여로 판단해야 하는 이유가 여기 있다.

6. 실제로 움직이는 현금

6.1 증거금과 담보 소요

나머지 9,685억원은 벤치마크 복제 현물 포트폴리오 그대로 둔다. 액티브 가중치의 합은 0으로 유지된다.

\sum_j w_j^A \;=\; 0 \qquad (\text{자기금융 오버레이})

6.2 자금이 실제로 움직여야 하는 경우

6.3 현금 버퍼가 만드는 트래킹 에러

담보 소요의 2배를 현금성 자산으로 유지하는 것이 통상적이다. 위 예시라면 630억원, 운용자산의 6.3% 수준이다. 이 버퍼는 벤치마크 대비 현금 비중 초과이므로 그 자체가 트래킹 에러를 만든다. 리스크 예산에 포함해 계산해야 하며, 빠뜨리면 실현 TE가 설계치를 초과한다.

7. 사후 검산과 TC 실측

7.1 체결 후 실현 TE를 되짚는다

\sqrt{w^{A\top}\Sigma\, w^{A}} \;\overset{?}{=}\; 231\text{bp}

크레딧에서 유동성 제약으로 목표 4,239억 중 3,000억만 체결됐다고 하자.

TE_{\text{크레딧}}^{\text{실현}} \;=\; 78 \times \frac{3{,}000}{4{,}239} \;=\; 55\text{bp}, \qquad TC \;=\; 0.71

\sqrt{160^2 + 148^2 + 55^2} \;=\; 225\text{bp} \qquad (\text{설계치 } 231\text{bp})

7.2 괴리의 원인을 구분한다

7.3 실측 TC가 사전 가정보다 높게 나온 경우

위 예시에서 실측 TC 0.71은 사전 가정 0.50보다 높다. 이번 분기에 유동성이 좋았다는 뜻이므로, 한 분기 결과만으로 사전값을 0.71로 올리지 않는다. 수축 원칙을 적용한다.

TC^{\text{new}} \;=\; w \cdot TC^{\text{realized}} + (1-w) \cdot TC^{\text{prior}}, \qquad w \;=\; \frac{T}{T + T_0}

분기 데이터 4개(1년), 기준 12개(3년)라면 가중치는 0.25이므로 새 사전값은 0.55다. 사전값이 실측을 따라가는 속도를 통제하는 것이 이 항의 역할이다.

8. 위원회 점검 항목

8.1 실행 단계에서 승인하는 것

8.2 분기마다 보고받을 것

8.3 한 장으로 보는 실행 흐름

TE_i \;\xrightarrow[\;\div\,\sigma(\text{요인})\;]{}\; \text{요인 노출} \;\xrightarrow[\;\times\,\text{계기 민감도}\;]{}\; \text{계약 수} \;\xrightarrow[\;\text{제약 투영}\;]{}\; \text{실현 } TE_i

마지막 화살표에서 잃는 만큼이 TC이고, 그 값을 다음 분기 사전 IR에 되먹인다. 이 고리가 닫혀 있어야 모형이 시간이 갈수록 실현값에 수렴한다.

부록 A. 계기별 민감도 참고값

계약 규모와 민감도는 거래소 명세와 시장 수준에 따라 달라지므로 실행 시점에 재확인한다.

부록 B. 기호 정리